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第九章动态规划part08，股票问题是一个动态规划的系列问题。

121. 买卖股票的最佳时机

1.1 解题分析

定义一个dp数组，dp[j]表示在第j天卖出时，能得到的最大利润。依靠前面几天买入的最低价格做减法。

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[] dp = new int[prices.length];
        int minIn = prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            minIn = Math.min(minIn, prices[i]);
            dp[i] = prices[i] > minIn ? prices[i] - minIn : 0;
        }
        int profit = 0;
        for (int p : dp) {
            profit = Math.max(p, profit);
        }
        return profit;
    }
}

我的解法，dp[prices.size() - 1]不是题目要求的解，还得再遍历一次dp数组，其实是贪心解法，不是dp。

1.2 贪心解法

因为股票就买卖一次，那么贪心怎么贪？取最左最小值，取最右最大值，得到的差值就是最大利润。其实就是我上面的代码，精简一下，不需要记录dp数组，只需要维护一个当前的最大利润值：

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int profit = 0;
        int minIn = prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            minIn = Math.min(minIn, prices[i]);
            profit = Math.max(profit, prices[i] - minIn);
        }
        return profit;
    }
}

1.3 动态规划解法

首先dp数组需要定义为一个二维的数组，因为每天所能获得的最大利润，均有持有和不持有两种状态，没法用一维数组来表示。其次，用“持有”来描述状态，比买入、卖出能包含更多情况。持有不代表就是当天买入，也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态。

DP五部曲：

  1. dp数组定义：
    • dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金，一开始现金是0，持有股票之后可以是负数。
    • dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。
  2. 递推公式：
    • dp[i][0] 可以从下面两个状态转移过来。
      • 前一天已经持有 dp[i - 1][0]
      • 今天买入并持有 -prices[i]
    • dp[i][1] 可以从
      • 前一天已经不持有 dp[i - 1][1]
      • 今天卖出并不持有 dp[i - 1][0] + prices[1]
  3. dp数组初始化：
    • dp[0][0] = -prices[0]
    • dp[0][1] = 0
  4. 遍历顺序：从前往后
  5. 打印dp数组。
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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[n - 1][1];
    }
}

122. 买卖股票的最佳时机II

2.1 解题分析

和上一题的唯一的区别：股票买卖可以发生多次。（限制：最多持有一支股票）

2.2 解题小结

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
        }
        return dp[n - 1][1];
    }
}

123. 买卖股票的最佳时机III

3.1 解题分析

一天一共有5个状态，拆解如下：

  • 0： 不操作
  • 1： 第一次持有
  • 2： 第一次不持有
  • 3： 第二次持有
  • 4： 第二次不持有

DP五部曲：

  1. dp数组定义：
    • dp[i][j] i表示第i天 j表示状态[0-4]，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
  2. 递推公式：
    • dp[i][0] = dp[i - 1][0] 不操作，延续前一天的状态
    • dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]) 其实第一个状态没有必要设置，第一次持有之前手里的现金就是0。
    • dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])
    • dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])
    • dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])
  3. dp数组初始化：
    • dp[0][0] = 0
    • dp[0][1] = -prices[0]
    • dp[0][2] = 0
    • dp[0][3] = -prices[0]
    • dp[0][4] = 0
  4. 遍历顺序：从前往后
  5. 打印dp数组。

3.2 解题小结

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][5];
        dp[0][1] = - prices[0];
        dp[0][3] = - prices[0];
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], 0 - prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        
        return dp[n - 1][4];
    }
}

4. 今日收获

  • 补打卡命好苦，买卖股票问题，关键是理解“持有”，拆解清楚状态。第一次接触，动态规划的dp数组定义、以及递推公式都不怎么容易想到。
  • 学习时长：3.5小时
Leetcode > 动态规划
#Java #代码随想录
算法训练营day42 | {121.买卖股票的最佳时机, 122.买卖股票的最佳时机II, 123.买卖股票的最佳时机III}
http://paopaotangzu.xyz/cn/day42_leetcode/
作者
PROTON TANG
发布于
2026年1月31日
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